KMA/MA2I

Aktuality

• Výsledky zápočtové písemky ze 6. prosince> Napsali: Vaverka, Tříska
• 14. 12. 2010: aktualizovány všechny požadavky ke zkoušce

Doporučená literatura

• [Krupková] Krupková V., Fuchs, P.: Matematika 1, VUT, Brno, 2007 (dostupné v elektronické podobě)
• [Kopáček1] Kopáček J.: Matematická analýza nejen pro fyziky (I), Matfyzpress, Praha, 2004.
• [Kopáček2] Kopáček J.: Matematická analýza nejen pro fyziky (II), Matfyzpress, Praha, 2007.
• [Brabec] Brabec J., Hrůza B.: Matematická analýza II, SNTL/ALFA, Praha, 1986.
• [Došlá] Došlá Z.,Novák V.: Nekonečné řady, MU PřF, Brno, 2007.

Přednášky

• 1. přednáška - Vektorové funkce [Text: 1 2], [Příklady: 1]
• 2. přednáška - Implicitně zadané funkce a zobrazení [Text: 1], [Příklady: 1]
• 3. přednáška - Primitivní funkce [Text: 1], [Příklady: 1 2 3(některé příklady se řeší pomocí spec. substitucí)]
• 4. přednáška - Riemannův integrál [Text: 1], [Příklady: 1]
• 5. přednáška - Riemannův integrál - pokračování [Text: 1], [Příklady: 1]
• 6. přednáška - Dvojný integrál [Text: 1]
• 7. přednáška - Trojný integrál [Text: 1]
• 8. přednáška - Číselné řady [Text: 1] [Příklady: viz [Došlá]]
• 9. přednáška - Posloupnosti funkcí [Text: 1] [Příklady: viz [Došlá]]
• 10 přednáška - Řady funkcí [Text: 1] [Příklady: viz [Došlá]]
• 11. přednáška - Mocninné řady [Text: 1] [Příklady: viz [Došlá]]
• 12. přednáška - Fourierovy řady [Text: 1] [Příklady: viz [Došlá]]

Zápočet

• Aktivní účast na cvičeních. Povolené jsou maximálně 3 absence (omluvenky od lékaře neuznávám...) - pokud by byl problém, napíše si student nějaké zápočtové písemky navíc).
• Úspěšné vyřešení všech zápočtových písemek v průběhu semestru (budou dvě nebo tři). Úspěšným vyřešením zápočtové písemky je myšleno získání alespoň poloviny z maximálního počtu bodů.

Zkouška

• Vektorové funkce: příklady vektorových funkcí, limita a spojitost, směrové a parciální derivace, diferenciál, Jacobiho matice, postačující podmínka existence diferenciálu, věta o diferenciálu složeného zobrazení a jeho použití.
• Implicitní funkce a zobrazení: Implicitně zadaná funkce jedné proměnné -existence, jednoznačnost, derivace a její výpočet. Imlicitně zadaná funkce více proměnných - existence, jednoznačnost, parciální derivace a jejich výpočet. Implicitně zadané zobrazení - existence, jednoznačnost, Jacobiho matice a její výpočet. Věta o inverzním zobrazení.
• Primitivní funkce: definice, základni vlastnosti, existence a jednoznačnost, základní vzorce, per partes, dvě věty o substituci, integrace racionálních funkcí.
• Riemannův integrál: Konstrukce (včetně základních pojmů a pomocných tvrzení), vlastnosti, postačující podmínky existence integrálu, výpočet (Newtonův vzorec), věta per partes a o substituci, věta o střední hodnotě. Přibližný výpočet integrálu: obdélníkové, lichoběžníkové a Simpsonovo pravidlo. Nevlastní Riemannův integrál: definice (vlivem meze i funkce), kriteria konvergence.
• Dvojný a trojný integrál: integrace přes obdélník/kvádr, integrace přes měřitelné množiny, metody výpočtu: Fubiniova věta, věta o substituci, základní typy substitucí, aplikace.
• Číselné řady: definice a konvergence, nutná podmínka konvergence, kriteria konvergence řad s nezápornými a libovolnými členy, relativní a absolutní konvergence, přerovnání řad, součin řad.
• Posloupnosti funkcí: definice, bodová a stejnoměrná konvergence, jejich srovnání, nutná a postačující podmínka stejnéměrné konvergence, vlastnosti stejnoměrně konvergentních posloupností.
• Řady funkcí: definice, bodová a stejnoměrná konvergence, jejich srovnání, nutná a postačující podmínka stejnoměrné konvergence, Weierstrassovo kriterium stejnoměrné konvergence, vlastnosti stejnoměrně konvergentních řad.
• Mocninné řady: definice, poloměr mocninné řady a její výpočet, obor konvergence, lokálně stejnoměrná konvergence mocninné řady a její důsledky (derivování a integrování člen po členu).
  Taylorovy řady: definice, tvar Taylorovy řady - věta o jednoznačnosti, konvergence Taylorovy řady - Taylorova věta o zbytku (Lagrangeův tvar zbytku).
• Fourierovy řady: ortogonální posloupnost, Fourierovy koeficienty, středně kvadratická konvergence, Fourierovy řady vzhledem k systému {cos nx, sin nx}, sinová a kosinová řada, konvergence Fourierovy řady (Dirichletova věta).

• Věta o diferenciálu složeného zobrazení - pouze část (a) důkazu.
• Věta o existenci a jednoznačnosti implicitně zadané funkce jedné proměnné (věta 9) - pouze krok 1.
• Druhá věta o substituci (Primitivní funkce: věta 36).
• Věta 32 z přednášky "Riemannův integrál" - pouze tvrzení (ii).
• Věta o střední hodnotě integrálního počtu.
• Cauchyovo, d'Alembertovo limitní kriterium konvergence řady s nezápornými členy
• Weierstrassovo kriterium stejnoměrné konvergence řad funkcí
• Věta o tvaru a jednoznačnosti Taylorovy řady
• Věta o tvaru koeficientů Fourierovy řady (věta 16)