KMA/MA1I

Doporučená literatura

• [Kojecká] Kojecká, J., Kojecký, T.: Matematická analýza pro 1. semestr, VUP, Olomouc, 1997.
• [Krupková] Krupková V., Fuchs, P.: Matematika 1, VUT, Brno, 2007 (dostupné v elektronické podobě)
• [Kopáček1] Kopáček J.: Matematická analýza nejen pro fyziky (I), Matfyzpress, Praha, 2004.
• [Kopáček2] Kopáček J.: Matematická analýza nejen pro fyziky (II), Matfyzpress, Praha, 2007.
• [Došlá] Došlá Z., Došlý O.: Diferenciální počet funkcí více proměnných, MU, Brno 2003.
• [Metrické prostory] učební text
• [Funkce více proměnných] učební text
• [Derivace] učební text 1, učební text 2
>

Přednášky

• 1. přednáška Číselné množiny - opraveny chyby a změněny definice otevřené a uzavřené množiny (18. února 2010).
  Doporučená literatura: Konstrukce reálných čísel (toto nebudu zkoušet), supremum, infimum [Kojecká: str.3-14]; metrické vlastnosti, klasifikace bodů vzhledem k množině, topologické pojmy [Metrické prostory: kap.1,3,4,5],[Kojecká: str.14-23].
• 2. přednáška Reálné funkce jedné a více proměnných
  Doporučená literatura: Funkce jedné proměnné [Kopáček1 str. 48-52,73-83], funkce více proměnných [Funkce více proměnných: podkapitoly 1.1 a 1.2]
• 3. přednáška Limita posloupnosti (I)
  Doporučená literatura: [Kopáček1], [Krupková]
• 4. přednáška Limita posloupnosti (II)
  Doporučená literatura: [Kopáček1], [Krupková], [Metrické prostory]
• 5. přednáška Limita funkce jedné proměnné - přibyla věta na slajdu 30, odkazy na obecnější tvrzení v literatuře.
  Doporučená literatura: [Kojecká], [Kopáček1], [Krupková]
• 6. přednáška Spojitost funkce jedné proměnné - odkazy na obecnější tvrzení v literatuře.
  Doporučená literatura: [Kojecká], [Kopáček1], [Krupková]
• 7.,8. přednáška Derivace funkce jedné proměnné
  Doporučená literatura: [Kojecká], [Kopáček1], [Krupková], [Derivace]
• 9. přednáška Aplikace diferenciálního počtu
  Doporučená literatura: [Kojecká], [Kopáček1], [Krupková]
• 10. přednáška Diferenciální počet funkcí více proměnných (I)
  Doporučená literatura: [Došlá], [Kopáček2]
• 11. přednáška Diferenciální počet funkcí více proměnných (II) - dne 7.5.2010 opraveny drobné chyby
  Doporučená literatura: [Došlá], [Kopáček2]
• 12. přednáška Extrémy funkcí více proměnných - dne 14.5.2010 opraveny chyby
  Doporučená literatura: [Došlá], [Kopáček2]

Zápočet

• Aktivní účast na cvičeních. Povolené jsou maximálně 3 absence (omluvenky od lékaře neuznávám...) - pokud by byl problém, napíše si student nějaké zápočtové písemky navíc).
• Úspěšné vyřešení všech zápočtových písemek v průběhu semestru (budou dvě nebo tři). Úspěšným vyřešením zápočtové písemky je myšleno získání alespoň poloviny z maximálního počtu bodů.

Zkouška

Zkouškové okruhy

• Číselné množiny: reálná čísla, uspořádání na R, supremum, infimum, vzdálenost v R, okolí bodu, množina R^N, metriky na R^N, klasifikace bodů vzhledem k množině, otevřené množiny.
• Reálné funkce: základní pojmy, elementární funkce jedné proměnné (jejich grafy, vlastnosti), operace s funkcemi, funkce více proměnných, elementární funkce, polynomy v R^N
• Limita posloupnosti: pojem posloupnost, monotonní posloupnosti, limita (vlastní, nevlastní), existence a jednoznačnost, limity některých základních posloupností (geometrická apod), aritmetika posloupností (neurčité výrazy), věta o třech limitách, o monotónnosti limit, Bolzanova-Cauchyova podmínka, hromadné body posloupnosti. Posloupnosti v R^N (limita, základní věty, aritmetika posloupností Bolzanova-Cauchyova podmínka, Weierstrassova věta). Konvergence v metrických prostorech.
• Limita funkce jedné proměnné: definice vlastní/nevlastní limity ve vlastním/nevlastním bodě, Heineova věta, jednostranné limity a vztah s limitou, jednoznačnost limity funkce, aritmetika limit funkcí, věta o limitě složené funkce I., o monotónnosti limit, o třech limitách.
• Spojitost funkce jedné proměnné: definice, vztah s limitou funkce, Heineova věta, jednostranná spojitost, spojitost funkce na intervalu (spojitost elementárních funkcí), věta o limitě složené funkce II., nespojitost, stejnoměrná spojitost.
• Derivace funkce: definice a geometrický význam, vztah mezi derivací a spojitostí funkce, jednostranná derivace, aritmetika derivací, derivace složené funkce, derivace inverzní funkce, derivace vyššího řádu, diferenciál.
• Aplikace diferenciálního počtu: monotónnost, extrémy, konvexnost, konkávnost, inflexní body. Věty o střední hodnotě (Lagrangeova, Cauchyova), Roleova věta, l'Hospitalovo pravidlo. Taylorův rozvoj funkce, Taylorův polynom, věta o zbytku.
• Diferenciální počet funkcí více proměnných: limita, limita vzhledem k množině, základní vlastnosti, spojitost, vztah limity a spojitosti, aritmetika limit a spojitosti, spojitost elementárních funkcí; směrové derivace, parciální derivace, věta o přírůstku, parciální derivace a spojitost; parciální derivace druhého řádu, Schwarzova věta; totální diferenciál a jeho reprezentant, gradient a jeho geometrický význam, geometrický význam diferenciálu; diferenciály druhého a vyšších řádů; Taylorův vzorec.
• Extrémy funkcí více proměnných: Lokální extrémy, nutná a postačující podmínka existence; vázané extrémy, nutná a postačující podmínka (přes Lagrangeovy multiplikátory); globální extrémy, postačující podmínka existence, způsob jejich nalezení.

Seznam vět jejichž důkaz bude vyžadován u zkoušky:

• Jednoznačnost limity posloupnosti
• Aritmetika limit possloupností (sčítání)
• Weierstrassova věta
• Heineova věta (pro limity)
• Věta o limitě složené funkce II.
• Věta o derivaci složené funkce
• Rolleova, Lagrangeova věta.
• Cauchyova věta o zbytku
• Věta o přírůstku
• Věta o reprezentaci totálního diferenciálu